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In mwcwmatematica, la mwdaderivata è una mwdqfunzione che rappresenta il tasso di cambiamento di una data funzione rispetto a una certa variabile, vale a dire la misura di quanto il valore di una funzione cambi al variare del suo argomento. Più informalmente, la derivata misura la crescita (o decrescita) che avrebbe una funzione in uno specifico punto spostandosi di pochissimo dal punto considerato.

La derivata mwdw f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} di una funzione mwea f ( x ) {\displaystyle f(x)} in un punto mweq x 0 {\displaystyle x_{0}} , nel caso di funzioni a una variabile nel mwegcampo mwewreale, corrisponde alla mwfapendenza della mwfqretta tangente al mwfggrafico della funzione mwfw f ( x ) {\displaystyle f(x)} nel punto mwga x 0 {\displaystyle x_{0}} e ne rappresenta la migliore mwgqapprossimazione lineare. Nel caso in cui la derivata esista (cioè la funzione sia derivabile) in ogni punto del mwggdominio, la si può vedere a sua volta come una funzione che associa a ogni punto proprio la derivata in quel punto.

Il concetto di derivata è, insieme a quello di mwhaintegrale, uno dei cardini dell'mwhqanalisi matematica e del mwhgcalcolo infinitesimale. Il significato pratico di derivata è il mwhwtasso di variazione di una certa grandezza presa in considerazione. Un esempio molto noto di derivata è la variazione della posizione di un oggetto rispetto al tempo, chiamata mwiavelocità istantanea.

• Descrizione

• Definizione

• Derivata complessa

• Derivata destra e derivata sinistra

• Notazioni

• Derivata parziale

• Derivata direzionale

• Differenziabilità di una funzione

• Continuità e derivabilità

• Funzioni non derivabili

• Teoremi

• Regole di derivazione

• Teorema di Fermat

• Teorema di Rolle

• Teorema di Lagrange

• Teorema di Cauchy

• Monotonia a partire dalla derivata

• Derivate di ordine superiore

• Convessità

• Significato geometrico della derivata

• Esempio

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La derivata di una funzione mwkq f {\displaystyle f} in un punto mwkg x 0 {\displaystyle x_{0}} è il valore del mwkwcoefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto, cioè la mwlatangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione mwlq y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} e l'asse delle mwlgascisse. Se la derivata di una funzione mwlw f {\displaystyle f} in un punto mwma x 0 {\displaystyle x_{0}} è mwmq f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} , la retta tangente al grafico della funzione mwmg f ( x ) {\displaystyle f(x)} è parallela all'asse delle ascisse, mentre se il limite mediante cui si calcola la derivata in un punto mwmw x 0 {\displaystyle x_{0}} è infinito la retta tangente al grafico della funzione mwna f ( x ) {\displaystyle f(x)} è parallela all'asse delle ordinate. La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come mwnqregole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta. Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto: si ricorre allora alle mwnwderivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti.

Le derivate parziali sono tante quante il numero delle variabili stesse, e una loro notevole proprietà è che se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè mwoqdifferenziabile) è possibile calcolarne la tangente lungo una direzione qualunque con una mwogcombinazione lineare delle derivate parziali stesse. Questo è possibile perché l'mwowoperatore di derivazione è un mwpaoperatore lineare, e quindi la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

La nozione di derivata si introduce, nel caso di funzione a una variabile indipendente nel campo reale, considerando una mwqwfunzione mwrareale mwrq f ( x ) {\displaystyle f(x)} di variabile reale mwrg x {\displaystyle x} e un punto mwrw x 0 {\displaystyle x_{0}} del suo mwsadominio. La derivata di mwsq f ( x ) {\displaystyle f(x)} in mwsg x 0 {\displaystyle x_{0}} è definita come il numero mwsw f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} uguale al mwtalimite del mwtqrapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito. In modo esplicito, detto mwtg h {\displaystyle h} l'incremento, una funzione mwtw f {\displaystyle f} definita in un mwuaintorno di mwuq x 0 {\displaystyle x_{0}} si dice derivabile nel punto mwug x 0 {\displaystyle x_{0}} se esiste ed è finito il limite:

mwvq f ′ ( x 0 ) = lim h → → 0 f ( x 0 + h ) − − f ( x 0 ) h {\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}

e il valore di questo limite è la derivata della funzione nel punto mwvw x 0 {\displaystyle x_{0}} . Se la funzione mwwa f ( x ) {\displaystyle f(x)} è derivabile in ogni punto di un dato intervallo mwwq ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , allora si dice che essa è mwwgderivabile in mwww ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} e la funzione mwxa f ′ : : x ∈ ∈ ( a , b ) → → f ′ ( x ) {\displaystyle f'\colon x\in (a,b)\to f'(x)} che associa a ogni punto mwxq x {\displaystyle x} la derivata mwxg f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} di mwxw f ( x ) {\displaystyle f(x)} è la mwyafunzione derivata di mwyq f {\displaystyle f} .

Nonostante il caso più semplice sia quello delle funzioni reali, la definizione di derivata trova la sua collocazione più naturale nell'ambito dell'mwzqanalisi complessa, dove, applicata alle mwzgfunzioni di variabile complessa, prende il nome di derivata complessa.cite-ref-1[1] Detto mwaw U {\displaystyle U} un mwbasottoinsieme aperto del mwbqpiano complesso, una mwbgfunzione complessa mwbw f : : U → → C {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} } è mwcadifferenziabile in senso complesso in un punto mwcq z 0 ∈ ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} se esiste il mwcglimite:cite-ref-2[2]

mweq f ′ ( z 0 ) = lim z → → z 0 f ( z ) − − f ( z 0 ) z − − z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}

Tale limite va inteso in relazione alla mwewtopologia del piano. In altre parole, per ogni mwfasuccessione di numeri complessi che mwfqconverge a mwfg z 0 {\displaystyle z_{0}} , il rapporto incrementale deve tendere a un medesimo numero, indicato con mwfw f ′ ( z 0 ) . {\displaystyle f'(z_{0}).} Se mwga f {\displaystyle f} è mwgqdifferenziabile in senso complesso in ogni punto mwgg z 0 ∈ ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} , si dice che è una mwgwfunzione olomorfa su mwha U {\displaystyle U} .

La relazione tra la mwhwdifferenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:

mwig f ( z ) ≡ ≡ f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}

è olomorfa allora mwja u {\displaystyle u} e mwjq v {\displaystyle v} possiedono mwjgderivata parziale prima rispetto a mwjw x {\displaystyle x} e mwka y {\displaystyle y} e soddisfano le mwkqequazioni di Cauchy-Riemann:cite-ref-3[3]

mwma ∂ ∂ u ∂ ∂ x = ∂ ∂ v ∂ ∂ y , ∂ ∂ u ∂ ∂ y = − − ∂ ∂ v ∂ ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger mwmw ∂ ∂ f / ∂ ∂ z ¯ ¯ {\displaystyle \partial f/\partial {\overline {z}}} di mwna f {\displaystyle f} rispetto al mwnqcomplesso coniugato mwng z ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} di mwnw z {\displaystyle z} è nulla.

La mwogderivata destra di mwow f {\displaystyle f} in mwpa x 0 {\displaystyle x_{0}} è il numero:

mwpw f + ′ ( x 0 ) = lim h → → 0 + f ( x 0 + h ) − − f ( x 0 ) h . {\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}

Analogamente, la mwqqderivata sinistra di mwqg f {\displaystyle f} in mwqw x 0 {\displaystyle x_{0}} è il numero:

mwrg f − − ′ ( x 0 ) = lim h → → 0 − − f ( x 0 + h ) − − f ( x 0 ) h . {\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}

Una funzione è derivabile in mwsa x 0 {\displaystyle x_{0}} se e solo se esistono finite e uguali le derivate destra e sinistra. Queste permettono inoltre di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se mwsq f {\displaystyle f} è definita ad esempio nell'intervallo chiuso mwsg [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , si dice che mwsw f {\displaystyle f} è derivabile in mwta [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} se è derivabile in ogni punto interno mwtq x ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi mwtg x = a {\displaystyle x=a} e mwtw x = b {\displaystyle x=b} .

Le derivate destre e sinistre sono un caso particolare in mwuq R {\displaystyle \mathbb {R} } della derivata direzionale di Dini nelle direzioni parallele e versi concordi a mwuw 1 {\displaystyle 1} e mwva − − 1 {\displaystyle -1} (per rispettivamente derivata destra e sinistra). Infatti in mwvq R {\displaystyle \mathbb {R} } tutti i punti, visti come vettori in uno mwvgspazio vettoriale di dimensione mwvw 1 {\displaystyle 1} , sono paralleli e possono essere solo di verso concorde o discorde.

La prima notazione di derivata nel punto mwww x 0 {\displaystyle x_{0}} che compare storicamente è:

mwxg ( d f d x ) ( x 0 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)_{(x_{0})}}

ancora oggi usata in mwyafisica. In alternativa, secondo la mwyqnotazione di Lagrange viene indicata con:

mwza f ′ ′ ( x 0 ) , {\displaystyle f^{\prime }(x_{0}),}

secondo la notazione di Cauchy-Eulero con:

mw0q D ⁡ ⁡ [ f ( x 0 ) ] {\displaystyle \operatorname {D} \left[{f}({x_{0}})\right]}

o più recentemente, per sottolineare che la derivata ha come argomento una funzione e non un punto, con

mw1q D ⁡ ⁡ ( f ) ( x 0 ) , {\displaystyle \operatorname {D} \left(f\right)(x_{0}),}

secondo la mw1wnotazione di Leibniz con:

mw2g d f ( x 0 ) d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}}

e secondo la mw3anotazione di Newton con:

mw3w f ˙ ˙ ( x 0 ) . {\displaystyle {\dot {f}}(x_{0}).}

Nel caso di una funzione di più variabili, l'incremento della funzione rispetto a una sola variabile è la derivata parziale della funzione rispetto a tale variabile. Data una funzione vettoriale di più variabili mw4w F : E ⊂ ⊂ R n → → R m {\displaystyle \mathbf {F} :E\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} definita su un mw5ainsieme aperto dello mw5qspazio euclideo mw5g R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , dette mw5w { e i } 1 ≤ ≤ i ≤ ≤ n {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}_{1\leq i\leq n}} e mw6a { u i } 1 ≤ ≤ i ≤ ≤ m {\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m}} le mw6qbasi canoniche di mw6g R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e mw6w R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} rispettivamente, la funzione può essere scritta nel seguente modo:

mw7g F ( x ) = ∑ ∑ i m F i ( x ) u i , x = ( x 1 , x 2 , … … , x n ) ∈ ∈ E . {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=\sum _{i}^{m}F_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {u} _{i},\quad \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in E.}

La componente mw8a i {\displaystyle i} -esima della funzione è allora:

mw8w F i ( x ) = F ( x ) ⋅ ⋅ u i , 1 ≤ ≤ i ≤ ≤ m . {\displaystyle F_{i}(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} _{i},\quad 1\leq i\leq m.}

Si definisce derivata parziale di mw9q F i {\displaystyle F_{i}} rispetto alla variabile mw9g x j {\displaystyle x_{j}} il limite:cite-ref-4[4]

mw-q ∂ ∂ F i ( x ) ∂ ∂ x j = lim t → → 0 F i ( x + t e j ) − − F i ( x ) t = lim t → → 0 F i ( x 1 , x 2 , … … x j + t , … … , x n ) − − F i ( x 1 , x 2 , … … , x n ) t . {\displaystyle {\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {F_{i}(\mathbf {x} +t\mathbf {e} _{j})-F_{i}(\mathbf {x} )}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {F_{i}(x_{1},x_{2},\ldots x_{j}+t,\ldots ,x_{n})-F_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{t}}.}

Tale limite è a volte chiamato limite del mw-wrapporto incrementale di mwaqa f {\displaystyle f} nel punto mwaqe x {\displaystyle \mathbf {x} } , e viene denotato anche con mwaqi D j F i {\displaystyle D_{j}F_{i}} . La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.

La derivata direzionale di una funzione scalare mwaqy f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , … … , x n ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} lungo un mwaqcvettore unitario mwaqg u = ( u 1 , … … , u n ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})} è la mwaqkfunzione definita dal mwaqolimite:

mwaq0 D u ⁡ ⁡ f ( x ) = lim h → → 0 + f ( x + h u ) − − f ( x ) h . {\displaystyle \operatorname {D} _{\mathbf {u} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}

Se la funzione mwaq8 f {\displaystyle f} è mwaradifferenziabile in mware x {\displaystyle \mathbf {x} } , allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario mwari u , {\displaystyle \mathbf {u} ,} e si ha:cite-ref-5[5]

mwark D u ⁡ ⁡ f ( x ) = ∇ ∇ f ( x ) ⋅ ⋅ u , {\displaystyle \operatorname {D} _{\mathbf {u} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} ,}

dove mwars ∇ ∇ f {\displaystyle \nabla f} al secondo membro rappresenta il mwarwgradiente di mwar0 f {\displaystyle f} e mwar4 ⋅ ⋅ {\displaystyle \cdot } il mwar8prodotto scalare mwasaeuclideo. In mwase x {\displaystyle \mathbf {x} } la derivata direzionale di mwasi f {\displaystyle f} rappresenta la variazione di mwasm f {\displaystyle f} lungo mwasq u {\displaystyle \mathbf {u} } .

Una funzione differenziabile in un punto è una mwatmfunzione che può essere approssimata da una mwatqtrasformazione lineare nel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le mwatuderivate parziali calcolate nel punto esistano, ovvero esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali (dunque, se una funzione è differenziabile in un punto allora è derivabile nel punto). La proprietà di differenziabilità di una funzione consente di generalizzare il concetto di mwatyfunzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e permette di individuare per ogni punto del suo mwatcgrafico un mwatgiperpiano tangente.

Una funzione mwato F : : U → → R m {\displaystyle \mathbf {F} \colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} definita su un mwatsinsieme aperto dello mwatwspazio euclideo mwat0 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} è detta differenziabile in un punto mwat4 x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} del dominio se esiste una mwat8applicazione lineare mwaua L : R n → → R m {\displaystyle \mathbf {L} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} tale che valga l'approssimazione:

mwaum F ( x 0 + h ) − − F ( x 0 ) = L ( x 0 ) h + r ( h ) , {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} +\mathbf {r} (\mathbf {h} ),}

dove mwauu r ( h ) {\displaystyle \mathbf {r} (\mathbf {h} )} si annulla all'annullarsi dell'incremento mwauy h {\displaystyle \mathbf {h} } . Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

mwauk lim h → → 0 F ( x 0 + h ) − − F ( x 0 ) − − L ( x 0 ) h ‖ ‖ h ‖ ‖ = 0 . {\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})-\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}=\mathbf {0} .}

Se la funzione mwaus F {\displaystyle \mathbf {F} } è differenziabile in mwauw x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} , l'applicazione mwau0 L {\displaystyle \mathbf {L} } è rappresentata dalla mwau4matrice jacobiana mwau8 J F {\displaystyle J_{F}} .

Il vettore:

mwavm L ( x 0 ) h = d F ( x 0 ) = J F h {\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} =\mathrm {d} \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=J_{F}\mathbf {h} }

si chiama mwavudifferenziale di mwavy F {\displaystyle \mathbf {F} } in mwavc x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} e mwavg L ( x 0 ) {\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x_{0}} )} è la mwavkderivata totale della funzione mwavo F {\displaystyle \mathbf {F} } .

La funzione mwavw F {\displaystyle \mathbf {F} } è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.cite-ref-6[6] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre mwawefunzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa mwawi x {\displaystyle \mathbf {x} } a mwawm L ( x ) {\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {x} )} è continua, la funzione si dice mwawqdifferenziabile con continuità.cite-ref-7[7]

Il teorema di continuità asserisce che se mwaww f ( x ) {\displaystyle f(x)} è derivabile in mwaw0 x 0 {\displaystyle x_{0}} allora mwaw4 f ( x ) {\displaystyle f(x)} è anche continua in mwaw8 x 0 {\displaystyle x_{0}} .

Non vale il teorema che si ottiene invertendo le ipotesi con le tesi: ad esempio, la funzione mwaxe f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto mwaxi x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} , perché limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale non coincidono. La continuità di una funzione è quindi condizione necessaria, ma non sufficiente, per determinarne la derivabilità. Una funzione può inoltre essere derivabile (e quindi continua) in un punto mwaxm p {\displaystyle p} , ma essere discontinua in ogni punto intorno a mwaxq p {\displaystyle p} . Questo accade per funzioni come:

mwaxc f ( x ) = { 0 , se x ∈ ∈ Q , x 2 , se x ∈ ∈ R ∖ ∖ Q . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{ se }}x\in \mathbb {Q} ,\\x^{2},&{\text{ se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}}

essendo mwaxk Q {\displaystyle \mathbb {Q} } l'mwaxoinsieme dei mwaxsnumeri razionali e mwaxw R {\displaystyle \mathbb {R} } l'insieme dei mwax0numeri reali, mentre il simbolo "\" denota la mwax4differenza tra insiemi. La funzione in esame ammette derivata in mwax8 0 {\displaystyle 0} (vale mwaya 0 {\displaystyle 0} il limite del mwayerapporto incrementale) ma non è continua in nessun punto eccetto lo mwayi 0 {\displaystyle 0} . Notiamo che se invece una funzione è mwaymdue volte derivabile in un punto, allora è continua in un intorno di quel punto.

Per mostrare che se mwayu f ( x ) {\displaystyle f(x)} è derivabile in mwayy x 0 , {\displaystyle x_{0},} allora è continua in mwayc x 0 {\displaystyle x_{0}} , si considera l'uguaglianza precedente:

mwayo f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) ( x − − x 0 ) + o ( x − − x 0 ) , {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0}),}

da cui:

mway4 lim x → → x 0 f ( x ) = lim x → → x 0 f ( x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) ( x − − x 0 ) + o ( x − − x 0 ) = f ( x 0 ) . {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})=f(x_{0}).}

Quindi la funzione è continua in mwaza x 0 {\displaystyle x_{0}} . La stima lineare della funzione attorno a mwaze x 0 {\displaystyle x_{0}} costituisce una migliore approssimazione rispetto a:

mwazq f ( x ) = f ( x 0 ) + o ( 1 ) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+o(1)}

garantita dalla sola continuità (qui mwazy o ( 1 ) ⟶ ⟶ x → → x 0 0 {\displaystyle o(1){\underset {x\to x_{0}}{\longrightarrow }}0} ). Se la funzione è derivabile in mwazc x 0 {\displaystyle x_{0}} si può "scomporre" l'infinitesimo mwazg o ( 1 ) {\displaystyle o(1)} in un termine lineare e un infinitesimo di ordine superiore. Il mwazkteorema di Lagrange fornisce una diversa approssimazione (sempre lineare) nell'ipotesi che la funzione sia derivabile in un intorno di mwazo x 0 {\displaystyle x_{0}} :

mwaz0 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ′ ( ξ ξ ) ( x − − x 0 ) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(\xi )(x-x_{0})}

per tutti gli mwaz8 x {\displaystyle x} in tale intorno, e con mwaaa ξ ξ {\displaystyle \xi } un dato punto in mwaae ( x 0 , x ) {\displaystyle (x_{0},x)} (o mwaai ( x , x 0 ) {\displaystyle (x,x_{0})} , se è un intorno sinistro). Benché ora l'approssimazione sia "esatta" (non ci sono termini mwaaminfinitesimi che vengono trascurati), il teorema non è in grado di mostrare per quale mwaaq ξ ξ {\displaystyle \xi } sia vera l'uguaglianza.

Una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un mwaa0punto isolato del dominio, in presenza di un mwaa4punto angoloso, una mwaa8cuspide o un mwabaflesso a tangente verticale. Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la mwabefunzione di Cantor. La mwabifunzione di Weierstrass è una funzione reale di variabile reale che ha la proprietà di essere continua in ogni punto ma di non essere derivabile in nessuno.

Vengono enunciati di seguito alcuni mwabuteoremi e risultati significativi.

Siano mwabk f ( x ) {\displaystyle f(x)} e mwabo g ( x ) {\displaystyle g(x)} funzioni reali di variabile reale mwabs x {\displaystyle x} derivabili, e sia mwabw D {\displaystyle \mathrm {D} } l'operazione di derivazione rispetto a mwab0 x {\displaystyle x} :

mwaca D [ f ( x ) ] = f ′ ( x ) , D [ g ( x ) ] = g ′ ( x ) . {\displaystyle \mathrm {D} [f(x)]=f'(x),\qquad \mathrm {D} [g(x)]=g'(x).}

• mwacmRegola della somma (mwacqlinearità):

mwacc D [ α α f ( x ) + β β g ( x ) ] = α α f ′ ( x ) + β β g ′ ( x ) , α α , β β ∈ ∈ R . {\displaystyle \mathrm {D} [\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha f'(x)+\beta g'(x),\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} .}

• mwacoRegola del prodotto (o mwacsdi mwacwLeibniz):

mwac8 D [ f ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) ] = f ′ ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ ⋅ g ′ ( x ) . {\displaystyle \mathrm {D} [{f(x)\cdot g(x)}]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}

• mwadiRegola del quoziente:

mwadu D [ f ( x ) g ( x ) ] = f ′ ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) − − f ( x ) ⋅ ⋅ g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle \mathrm {D} \!\left[{f(x) \over g(x)}\right]={f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}.}

• mwadgRegola della funzione reciproca:

mwads D [ 1 f ( x ) ] = − − f ′ ( x ) f ( x ) 2 . {\displaystyle \mathrm {D} \!\left[{1 \over f(x)}\right]=-{f'(x) \over f(x)^{2}}.}

• mwad4Regola della funzione inversa:

mwaee D [ f − − 1 ( y ) ] = 1 f ′ ( x ) , {\displaystyle \mathrm {D} [f^{-1}(y)]={1 \over f'(x)},}

con:

mwaey y = f ( x ) , x = f − − 1 ( y ) . {\displaystyle y={f(x)},\qquad x={f^{-1}(y)}.}

• mwaekRegola della catena:

mwaew D [ f ( g ( x ) ) ] = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ ⋅ g ′ ( x ) . {\displaystyle \mathrm {D} \left[f\left(g(x)\right)\right]=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x).}

Sia mwafa f ( x ) {\displaystyle f(x)} una mwafefunzione derivabile, e quindi continua, in un punto mwafi x 0 {\displaystyle x_{0}} mwafminterno al mwafqdominio. Se mwafu x 0 {\displaystyle x_{0}} è un punto di mwafymassimo o di mwafcminimo per la funzione mwafg f , {\displaystyle f,} allora la derivata della funzione in mwafk x 0 {\displaystyle x_{0}} è nulla, cioè mwafo f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=0} .

Non è indispensabile che mwafw x 0 {\displaystyle x_{0}} sia interno al dominio, essendo sufficiente che si tratti di un mwaf0punto di accumulazione da destra e da sinistra per il dominio, mentre è essenziale porre che la funzione sia derivabile nel punto mwaf4 x 0 {\displaystyle x_{0}} in quanto non è possibile dedurne la derivabilità dalle altre ipotesi del teorema. Ogni punto in cui mwaf8 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato mwagapunto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati mwagepunti stazionari di mwagi f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} .

Questo teorema è molto usato nello mwagqstudio di funzione, in quanto definisce la possibilità di avere un punto di mwagumassimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.

Sia mwagk f ( x ) {\displaystyle f(x)} una funzione continua nell'intervallo chiuso mwago [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e derivabile nell'intervallo aperto mwags ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Se mwagw f ( a ) = f ( b ) , {\displaystyle f(a)=f(b),} allora esiste almeno un punto mwag0 x 0 ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} in cui la derivata prima mwag4 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} si annulla.

Sia mwahi f ( x ) {\displaystyle f(x)} una funzione continua in mwahm [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e derivabile nell'intervallo aperto mwahq ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Allora esiste almeno un punto mwahu x 0 ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} tale per cui:

mwahg f ′ ( x 0 ) = f ( b ) − − f ( a ) b − − a . {\displaystyle f'(x_{0})={{f(b)-f(a)} \over {b-a}}.}

Il teorema afferma che esiste almeno un punto mwaho ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} del grafico della funzione in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della mwahscorda della retta passante per i punti mwahw ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} e mwah0 ( b , f ( b ) ) {\displaystyle (b,f(b))} . Si tratta di una generalizzazione del mwah4teorema di Rolle che analizza il caso in cui mwah8 f ( a ) {\displaystyle f(a)} è diverso da mwaia f ( b ) {\displaystyle f(b)} .

Siano mwaiq f ( x ) {\displaystyle f(x)} e mwaiu g ( x ) {\displaystyle g(x)} funzioni continue in mwaiy [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e derivabili in mwaic ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} con mwaig g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo. Allora esiste almeno un punto mwaik x 0 ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} tale per cui:

mwaiw f ′ ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) = f ( b ) − − f ( a ) g ( b ) − − g ( a ) . {\displaystyle {f'(x_{0}) \over g'(x_{0})}={{f(b)-f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.}

Considerando in particolare la funzione mwai4 g ( t ) = t {\displaystyle g(t)=t} , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Con il teorema di Cauchy è inoltre possibile dimostrare la mwajaregola di de l'Hôpital.

Sia mwajq f ( x ) {\displaystyle f(x)} continua in mwaju [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e derivabile in mwajy ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Allora:

• Per ogni mwajk x ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} si ha mwajo f ′ ( x ) ⩾ ⩾ 0 {\displaystyle f'(x)\geqslant 0} mwajsse e solo se la funzione è mwajwcrescente in mwaj0 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} .

• Per ogni mwaj8 x ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} si ha mwaka f ′ ( x ) ⩽ ⩽ 0 {\displaystyle f'(x)\leqslant 0} se e solo se la funzione è decrescente in mwake ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} .

La funzione può non essere mwakmstrettamente crescente (o decrescente), e il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange.

Analogamente, valgono anche i fatti seguenti:

• Se per ogni mwakc x ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} si ha mwakg f ′ ( x ) > 0 , {\displaystyle f'(x)>0,} allora la funzione è mwakkstrettamente crescente in mwako ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} .

• Se per ogni mwakw x ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} si ha mwak0 f ′ ( x ) < 0 , {\displaystyle f'(x)<0,} allora la funzione è strettamente decrescente in mwak4 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} .

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio, mwala f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell'origine, dove c'è un mwalepunto di flesso.

Il teorema della funzione costante afferma che una funzione è mwalmcostante in un mwalqintervallo mwalu [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo. Mentre la condizione necessaria è conseguenza della definizione di derivata (la derivata di una costante è uguale a zero), la sufficienza segue dal mwalyteorema di Lagrange.

La derivata mwalk n {\displaystyle n} -esima mwalo f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} di una funzione mwals f {\displaystyle f} è la funzione che si ottiene derivando successivamente mwalw n {\displaystyle n} volte la funzione mwal0 f {\displaystyle f} . Si definiscono così la derivata seconda, terza, e così via; e si usa generalmente una delle seguenti notazioni:

mwama f ″ = f ( 2 ) = d 2 f d x 2 f ‴ = f ( 3 ) = d 3 f d x 3 ⋮ ⋮ f ( n ) = d n f d x n . {\displaystyle {\begin{aligned}f''=f^{(2)}&={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}\\f'''=f^{(3)}&={\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}\\&\vdots \\f^{(n)}&={\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}.\end{aligned}}}

Una funzione derivabile non è necessariamente derivabile mwami n {\displaystyle n} volte. Ad esempio, la funzione mwamm f ( x ) = x | x | {\displaystyle f(x)=x|x|} ha una derivata prima, ma non una seconda: infatti, la derivata di mwamq f {\displaystyle f} è mwamu f ′ ( x ) = 2 | x | {\displaystyle f'(x)=2|x|} , che non è a sua volta derivabile nell'origine.

La mwamcclasse delle funzioni derivabili mwamg n {\displaystyle n} volte e la cui derivata mwamk n {\displaystyle n} -esima è continua si indica con mwamo C n {\displaystyle C^{n}} .

Sia mwam4 f : : [ a , b ] → → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } derivabile. Allora mwam8 f ( x ) {\displaystyle f(x)} è convessa se e solo se mwana f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} è crescente in mwane [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Se mwani f {\displaystyle f} possiede derivata seconda, allora la convessità della funzione è data dalla mwanmdisequazione:

mwany f ″ ( x ) ≥ ≥ 0. {\displaystyle f''(x)\geq 0.}

Il cambiamento di segno della derivata seconda determina quindi un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di mwangflesso.

Il valore della derivata di mwaoe f ( x ) {\displaystyle f(x)} calcolata in mwaoi x 0 {\displaystyle x_{0}} ha un significato geometrico: è il mwaomcoefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal mwaoqgrafico di mwaou f ( x ) {\displaystyle f(x)} nel punto di coordinate mwaoy ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} . In altre parole, la derivata è il valore della mwaoctangente trigonometrica dell'angolo (convesso) che la retta tangente in mwaog x 0 {\displaystyle x_{0}} al grafico della funzione forma con l'asse delle ascisse (a patto che tale angolo non sia mwaokretto).

L'equazione della retta tangente in mwaos x 0 {\displaystyle x_{0}} risulta:

mwao4 y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − − x 0 ) . {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}

Più precisamente, se mwapa f ( x ) {\displaystyle f(x)} è derivabile nel punto mwape x 0 {\displaystyle x_{0}} , allora esiste una funzione mwapi o ( x − − x 0 ) {\displaystyle o(x-x_{0})} definita in un mwapmintorno di mwapq x 0 {\displaystyle x_{0}} tale che:

mwapc f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − − x 0 ) + o ( x − − x 0 ) , {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0}),}

con:

mwaps lim x → → x 0 o ( x − − x 0 ) x − − x 0 = 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=0}

e tale formula è l'mwap0espansione di Taylor di mwap4 f ( x ) {\displaystyle f(x)} troncata al termine di primo grado. Si dice che mwap8 o ( x − − x 0 ) {\displaystyle o(x-x_{0})} è un mwaqainfinitesimo di ordine superiore alla funzione mwaqe ( x − − x 0 ) {\displaystyle (x-x_{0})} , e con questo si vuole esprimere l'idea che il termine mwaqi o ( x − − x 0 ) {\displaystyle o(x-x_{0})} fornisce un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a mwaqm x 0 {\displaystyle x_{0}} . Si può anche dire che una funzione derivabile in mwaqq x 0 {\displaystyle x_{0}} è mwaquapprossimabile linearmente intorno a mwaqy x 0 {\displaystyle x_{0}} con la sua mwaqcretta tangente in tale punto.

Se si definisce infatti mwaqk o ( x − − x 0 ) {\displaystyle o(x-x_{0})} , avente lo stesso dominio di mwaqo f {\displaystyle f} , come:

mwaq0 o ( x − − x 0 ) = f ( x ) − − f ( x 0 ) − − f ′ ′ ( x 0 ) ( x − − x 0 ) , {\displaystyle o(x-x_{0})=f(x)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}),}

si verifica che:

mware lim x → → x 0 o ( x − − x 0 ) x − − x 0 = lim x → → x 0 ( f ( x ) − − f ( x 0 ) x − − x 0 − − f ′ ′ ( x 0 ) ) . {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f^{\prime }(x_{0})\right).}

Ricordando che per mwarm x → → x 0 {\displaystyle x\to x_{0}} allora mwarq x − − x 0 → → 0 {\displaystyle x-x_{0}\to 0} , e quindi mwaru h = x − − x 0 {\displaystyle h=x-x_{0}} . Sostituendo questa ultima uguaglianza con la precedente equazione si ha:

mwarg lim h → → 0 f ( x 0 + h ) − − f ( x 0 ) h − − f ′ ′ ( x 0 ) = 0. {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-f^{\prime }(x_{0})=0.}

Una funzione espressa come mwarsserie di potenze mwarw ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ a n X n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}} con mwar0raggio di convergenza mwar4 r {\displaystyle r} è continua e derivabile su tutto l'intervallo mwar8 ( − − r , r ) {\displaystyle (-r,r)} . La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:

mwasi f ′ ( x ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ n a n x n − − 1 . {\displaystyle f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}.}

Tuttavia, in una serie di potenze si preferisce che mwasq n {\displaystyle n} sia l'indice della potenza, quindi utilizzando uno shift diventa:

mwasc f ′ ( x ) = ∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n . {\displaystyle f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{(n+1)}a_{n+1}x^{n}.}

Questo tipo di derivata è importante per lo mwasksviluppo di Taylor e Maclaurin.

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• Approssimazione lineare

• Classe C di una funzione

• Derivata mista

• Derivata parziale

• Derivata direzionale

• Derivata simmetrica

• Derivata totale

• Derivazione complessa

• Funzione differenziabile

• Funzione olomorfa

• Generalizzazioni della derivata

• Gradiente

• Integrale

• Matrice jacobiana

• Notazione per la differenziazione

• Rapporto incrementale

• Regole di derivazione

• Sviluppo di Taylor

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• citereftreccani-itderivata, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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• mwayqWIMS Function Calculator calcolo delle derivate online; questo sito permette anche di fare esercizi interattivi

• mwayyDifferenziazione calcolatrice, su easycalculation.com.

• mwayg(EN) mwaykOnline Derivatives Calculator.

• mwaysLimite, derivate, integrali Directory con varie risorse sulle derivate